Persamaan pembezaan separa (PPS) adalah persamaan yang melibatkan kadar perubahan berkenaan dengan pembolehubah berterusan. Kedudukan badan tegar yang dinyatakan oleh enam nombor, tetapi konfigurasi air diberikan oleh pengagihan berterusan beberapa parameter, seperti suhu, tekanan, dan sebagainya. Dinamik untuk badan tegar berlaku dalam terhingga dimensi ruang konfigurasi; dinamik untuk cecair yang berlaku di dalam ruang konfigurasi terhingga dimensi. Perbezaan ini biasanya membuat PPS jauh lebih sukar untuk menyelesaikan daripada persamaan pembezaan biasa s (ODEs), tetapi di sini sekali lagi akan ada penyelesaian yang mudah untuk masalah lelurus. Domain klasik di mana PPS digunakan termasuk akustik, aliran bendalir, elektrodinamik, dan pemindahan haba.

Satu persamaan pembezaan separa (PPS) untuk fungsi u ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle u(x_{1},\cdots ,x_{n})} adalah satu persamaan bentuk

F ( x 1 , … , x n , u , ∂ u ∂ x 1 , … , ∂ u ∂ x n , ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 1 , … , ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x n , … ) = 0. {\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots \right)=0.}

Jika F adalah fungsi lelurus dari u dan derivatif, maka PPS dipanggil lelurus. Contoh biasa PPS leluus termasuk persamaan haba, persamaan gelombang, persamaan Laplace, persamaan Helmholtz, persamaan Klein-Gordon, dan persamaan Poisson.

Sebuah relatif PPS yang mudah adalah

∂ u ∂ x ( x , y ) = 0.   {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0.~}

Hubungan ini membayangkan bahawa fungsi u (x,y) adalah bebas daripada x. Walau bagaimanapun, persamaan tidak memberikan sebarang maklumat mengenai pergantungan fungsi pada pembolehubah y. Oleh itu penyelesaian am bagi persamaan ini adalah

u ( x , y ) = f ( y ) , {\displaystyle u(x,y)=f(y),}

dimana f adalah fungsi rambang y. Analogi persamaan pembezaan biasa adalah

d u d x ( x ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}(x)=0,}

yang mempunyai penyelesaian

u ( x ) = c , {\displaystyle u(x)=c,}

dimana c mana-mana nilai pemalar. Kedua-dua contoh yang menunjukkan bahawa penyelesaian am persamaan pembezaan biasa (PPB) jenis kaku melibatkan pemalar sembarangan, tetapi penyelesaian PPS melibatkan fungsi sewenang-wenangnya. Satu penyelesaian yang PPS biasanya tidak unik; syarat tambahan umumnya mesti dinyatakan di sempadan di rantau ini di mana penyelesaiannya ditakrifkan. Sebagai contoh, dalam contoh mudah di atas, fungsi f(y) boleh ditentukan jika u dinyatakan pada baris x = 0.